Überblick über die quantitative Begründungsmaßnahme

Bei diesen Fragen werden Sie gebeten, zwei Mengen – Menge A und Menge B – zu vergleichen und dann zu bestimmen, welche der folgenden Aussagen den Vergleich beschreibt.

• Menge A ist größer.
• Menge B ist größer.
• Die beiden Mengen sind gleich.
• Die Beziehung kann anhand der angegebenen Informationen nicht bestimmt werden.

Tipps zur Beantwortung

1. Machen Sie sich mit den Antwortmöglichkeiten vertraut. Quantitative Vergleichsfragen haben immer die gleichen Antwortmöglichkeiten, also lernen Sie sie kennen, insbesondere die letzte Wahl: „Die Beziehung kann nicht anhand der gegebenen Informationen bestimmt werden.“ Wählen Sie diese letzte Option niemals aus, wenn klar ist, dass die Werte der beiden Mengen durch Berechnung bestimmt werden können. Wenn Sie außerdem feststellen, dass eine Menge größer als die andere ist, stellen Sie sicher, dass Sie die entsprechende Auswahl sorgfältig auswählen und die ersten beiden Auswahlmöglichkeiten nicht umkehren.
2. Vermeiden Sie unnötige Berechnungen. Verschwenden Sie keine Zeit mit unnötigen Berechnungen, um die beiden Mengen zu vergleichen. Vereinfachen, transformieren oder schätzen Sie eine oder beide der angegebenen Mengen nur nach Bedarf, um sie zu vergleichen.
3. Denken Sie daran, dass geometrische Figuren nicht unbedingt maßstabsgetreugezeichnet sind. Wenn ein Aspekt einer gegebenen geometrischen Figur nicht vollständig bestimmt ist, versuchen Sie, die Figur neu zu zeichnen, wobei die Aspekte, die vollständig durch die gegebenen Informationen bestimmt werden, fixiert bleiben, aber die Aspekte der Figur, die nicht bestimmt werden, geändert werden. Untersuchen Sie die Ergebnisse. Welche Variationen sind in den relativen Längen von Liniensegmenten oder Winkelmaßen möglich?
4. Stecken Sie die Nummernein. Wenn eine oder beide Mengen algebraische Ausdrücke sind, können Sie einfache Zahlen für die Variablen ersetzen und die resultierenden Mengen in Ihrer Analyse vergleichen. Berücksichtigen Sie alle möglichen angemessenen Zahlen, bevor Sie eine Antwort geben: z. B. Null, positive und negative Zahlen, kleine und große Zahlen, Brüche und Dezimalstellen. Wenn Sie sehen, dass Menge A in einem Fall größer ist als Menge B und Menge B größer ist als Menge A in einem anderen Fall, wählen Sie „Die Beziehung kann anhand der angegebenen Informationen nicht bestimmt werden“.
5. Vereinfachen Sie den Vergleich. Wenn beide Mengen algebraische oder arithmetische Ausdrücke sind und Sie keine Beziehung zwischen ihnen sehen können, versuchen Sie, den Vergleich zu vereinfachen. Versuchen Sie eine Schritt-für-Schritt-Vereinfachung, die den Schritten ähnelt, die bei der Lösung der Gleichung für x erforderlich sind, oder ähnlich den Schritten, die bei der Bestimmung, dass die Ungleichung der einfacheren Ungleichheit entspricht. Beginnen Sie mit der Einrichtung eines Vergleichs, der die beiden Mengen umfasst: 

wobei ein Platzhalter ist, der die Beziehung größer als (>), kleiner als (<) oder gleich (=) darstellen könnte oder die Tatsache darstellen könnte, dass die Beziehung anhand der gegebenen Informationen nicht bestimmt werden kann. Versuchen Sie dann, den Vergleich Schritt für Schritt zu vereinfachen, bis Sie eine Beziehung zwischen vereinfachten Mengen bestimmen können. Sie können zum Beispiel nach dem letzten Schritt abschließen, der  gleich (=) ist. Basierend auf dieser Schlussfolgerung können Sie möglicherweise die Mengen A und B vergleichen. Um diese Strategie besser zu verstehen, siehe Beispielfragen 6 bis 9.

Bei diesen Multiple-Choice-Fragen werden Sie gebeten, nur eine Antwort aus einer Liste von fünf Antwortmöglichkeiten auszuwählen.

Tipps zur Beantwortung

1. Verwenden Sie die Tatsache, dass die Antwort da ist. Wenn Ihre Antwort keine der fünf Antwortmöglichkeiten ist, gehen Sie davon aus, dass Ihre Antwort falsch ist, und gehen Sie wie folgt vor:
   • Lesen Sie die Frage sorgfältig durch – Sie haben möglicherweise ein wichtiges Detail verpasst oder einige Informationen falsch interpretiert.
   • Überprüfen Sie Ihre Berechnungen – Sie haben möglicherweise einen Fehler gemacht, wie z. B. die falsche Eingabe einer Zahl auf dem Taschenrechner.
   • Bewerten Sie Ihre Lösungsmethode neu – Sie haben möglicherweise einen Fehler in Ihrer Argumentation.
2. Untersuchen Sie die Antwortmöglichkeiten. Bei einigen Fragen werden Sie ausdrücklich gefragt, welche der Optionen eine bestimmte Eigenschaft hat. Möglicherweise müssen Sie jede Antwort separat betrachten oder Sie können eine Beziehung zwischen den Optionen sehen, die Ihnen hilft, die Antwort schneller zu finden. In anderen Fragen kann es hilfreich sein, von den Auswahlmöglichkeiten rückwärts zu arbeiten, z. B. durch Ersetzen der Auswahlmöglichkeiten in einer Gleichung oder Ungleichung, um zu sehen, welche funktioniert. Seien Sie jedoch vorsichtig, da diese Methode mehr Zeit in Anspruch nehmen kann als die Verwendung von Argumenten.
3. Bei Fragen, die Annäherungen erfordern, scannen Sie die Antwortmöglichkeiten, um zu sehen, wie nahe eine Annäherung erforderlich ist. (Dies kann auch für andere Fragen hilfreich sein, da es Ihnen helfen kann, ein besseres Gefühl dafür zu bekommen, was die Frage stellt.) Bei einigen Fragen müssen Sie möglicherweise alle Berechnungen genau durchführen und nur Ihre endgültige Antwort runden, um den erforderlichen Genauigkeitsgrad zu erhalten. In anderen Fällen ist die Schätzung ausreichend und hilft Ihnen, Zeit für lange Berechnungen zu verwenden.

Bei diesen Multiple-Choice-Fragen werden Sie gebeten, eine oder mehrere Antwortmöglichkeiten aus einer Liste von Auswahlmöglichkeiten auszuwählen. Die Frage kann die Anzahl der auszuwählenden Optionen angeben oder auch nicht.

Tipps zur Beantwortung

1. Bitte beachten Sie, ob Sie aufgefordert werden, eine bestimmte Anzahl von Antwortmöglichkeiten oder alle zutreffenden Antworten anzugeben. Stellen Sie im letzteren Fall sicher, dass Sie alle Auswahlmöglichkeiten berücksichtigen, bestimmen, welche richtig sind, und wählen Sie alle diese und nur diese Auswahlmöglichkeiten aus. Beachten Sie, dass es möglicherweise nur eine richtige Wahl gibt.
2. Bei einigen Fragen, die Bedingungen beinhalten, die die möglichen Werte der numerischen Antwortmöglichkeiten begrenzen, kann es effizient sein, den geringsten und/oder größtmöglichen Wert zu bestimmen. Wenn Sie den geringsten und/oder größtmöglichen Wert kennen, können Sie schnell alle richtigen Entscheidungen treffen.
3. Vermeiden Sie langwierige Berechnungen, indem Sie numerische Muster erkennen und fortsetzen.

Bei diesen Fragen werden Sie gebeten, Ihre Antwort entweder als Ganzzahl oder Dezimalzahl in ein einzelnes Antwortfeld oder als Bruchteil in zwei separate Felder einzugeben – eine für den Zähler und eine für den Nenner. Sie werden die Computermaus und Tastatur verwenden, um Ihre Antwort einzugeben.

Tipps zur Beantwortung

1. Stellen Sie sicher, dass Sie die gestellte Frage beantworten. Da es keine Antwortmöglichkeiten gibt, die Sie leiten, lesen Sie die Frage sorgfältig durch und stellen Sie sicher, dass Sie die Art der erforderlichen Antwort angeben. Manchmal gibt es Etiketten vor oder nach dem Antwortfeld, um die richtige Art der Antwort anzugeben. Achten Sie besonders auf Einheiten wie Fuß oder Meilen, auf Größenordnungen wie Millionen oder Milliarden und auf Prozent im Vergleich zu Dezimalstellen.
2. Wenn Sie gebeten werden, Ihre Antwort zu runden, stellen Sie sicher, dass Sie auf das erforderliche Maß an Genauigkeit runden. Wenn beispielsweise eine Antwort von 46,7 auf die nächste ganze Zahl gerundet werden soll, müssen Sie die Zahl 47 eingeben. Wenn Ihre Lösungsstrategie Zwischenberechnungen umfasst, führen Sie alle Berechnungen genau durch und runden Sie nur Ihre endgültige Antwort ab, um den erforderlichen Genauigkeitsgrad zu erhalten. Wenn keine Rundungsanweisungen gegeben sind, geben Sie die genaue Antwort ein.
3. Überprüfen Sie Ihre Antwort, um zu sehen, ob sie in Bezug auf die gegebenen Informationen angemessen ist. Sie können Schätzungen oder einen anderen Lösungspfad verwenden, um Ihre Antwort noch einmal zu überprüfen.

Fragen zur Dateninterpretation werden gruppiert und beziehen sich auf dieselbe Tabelle, Grafik oder andere Datenpräsentation. Bei diesen Fragen werden Sie gebeten, die angegebenen Daten zu interpretieren oder zu analysieren. Die Arten von Fragen können Multiple-Choice (beide Arten) oder numerische Eingabe sein.

Tipps zur Beantwortung

1. Scannen Sie die Datenpräsentation kurz, um zu sehen, worum es geht, aber verbringen Sie keine Zeit damit, alle Informationen im Detail zu studieren. Konzentrieren Sie sich auf die Datenaspekte, die zur Beantwortung der Fragen erforderlich sind. Achten Sie auf:
   • die Achsen und Skalen von Diagrammen
   • die Maßeinheiten oder Größenordnungen (z. B. Milliarden), die in den Titeln, Beschriftungen und Legenden angegeben sind
   • alle Notizen, die die Daten verdeutlichen
2. Wenn grafische Datenpräsentationen wie Balkendiagramme und Liniendiagramme mit Skalen dargestellt werden, sollten Sie die Mengen nach Sicht oder Messung gemäß den entsprechenden Skalen lesen, schätzen oder vergleichen. Verwenden Sie beispielsweise die relativen Größen von Balken oder Sektoren, um die Mengen zu vergleichen, die sie darstellen, aber achten Sie auf gebrochene Skalen und Balken, die nicht bei 0 beginnen.
3. Beantworten Sie Fragen nur auf der Grundlage der präsentierten Daten, alltäglicher Fakten (wie z. B. der Anzahl der Tage in einem Jahr) und Ihrer Kenntnisse in der Mathematik. Nutzen Sie keine spezialisierten Informationen, an die Sie sich möglicherweise aus anderen Quellen über den bestimmten Kontext erinnern, auf dem die Fragen basieren, es sei denn, die Informationen können aus den präsentierten Daten abgeleitet werden.

Lesen Sie die Aussage des Problems sorgfältig durch, um sicherzustellen, dass Sie die gegebenen Informationen und das Problem, zu dessen Lösung Sie aufgefordert werden, verstehen.

• Einige Informationen können bestimmte Mengen beschreiben.
• Quantitative Informationen können in Wörtern oder mathematischen Ausdrücken oder einer Kombination aus beidem gegeben werden.
• Möglicherweise müssen Sie quantitative Informationen in Datenpräsentationen, geometrischen Figuren oder Koordinatensystemen lesen und verstehen.
• Andere Informationen können in Form von Formeln, Definitionen oder Bedingungen vorliegen, die durch die Mengen erfüllt werden müssen. Die Bedingungen können beispielsweise Gleichungen oder Ungleichungen sein oder können Wörter sein, die in Gleichungen oder Ungleichungen übersetzt werden können.

Stellen Sie nicht nur sicher, dass Sie die Informationen verstehen, die Sie erhalten, sondern auch, dass Sie verstehen, was Sie tun müssen, um das Problem zu lösen. Welche unbekannten Mengen müssen zum Beispiel gefunden werden? In welcher Form müssen sie ausgedrückt werden?

Die Lösung eines mathematischen Problems erfordert mehr als das Verständnis einer Beschreibung des Problems (die Mengen, die Daten, die Bedingungen, das Unbekannte und alle anderen mathematischen Fakten im Zusammenhang mit dem Problem). Es erfordert auch die Bestimmung,welchemathematischen Fakten verwendet werden sollen und wann und wie  diese Fakten verwendet werden sollen, um eine Lösung für das Problem zu entwickeln. Es erfordert eine Strategie.

Mathematische Probleme werden durch den Einsatz einer Vielzahl von Strategien gelöst, und es kann verschiedene Möglichkeiten geben, ein bestimmtes Problem zu lösen. Entwickeln Sie ein Repertoire von Problemlösungsstrategien und ein Gefühl dafür, welche Strategien bei der Lösung bestimmter Probleme wahrscheinlich am besten funktionieren werden. Der Versuch, ein Problem ohne Strategie zu lösen, kann zu viel Arbeit führen, ohne eine richtige Lösung zu entwickeln.

Nachdem Sie eine Strategie festgelegt haben, führen Sie sie durch. Wenn Sie stecken bleiben, überprüfen Sie Ihre Arbeit, um zu sehen, ob Sie einen Fehler in Ihrer Lösung gemacht haben. Behalten Sie eine flexible, offene Denkweise bei. Wenn Sie Ihre Lösung überprüfen und keinen Fehler finden können oder wenn Ihre Lösungsstrategie einfach nicht funktioniert, suchen Sie nach einer anderen Strategie.

Wenn Sie zu einer Antwort kommen, überprüfen Sie, ob sie angemessen und rechnerisch korrekt ist.

• Haben Sie die gestellte Frage beantwortet?
• Ist Ihre Antwort im Kontext der Frage angemessen? Die Überprüfung, ob eine Antwort angemessen ist, kann so einfach sein, wie die Erinnerung an eine grundlegende mathematische Tatsache und die Überprüfung, ob Ihre Antwort mit dieser Tatsache übereinstimmt. Beispielsweise muss die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zwischen 0 und 1 liegen, einschließlich, und der Bereich einer geometrischen Figur muss positiv sein. Möglicherweise können Sie mithilfe von Schätzungen überprüfen, ob Ihre Antwort angemessen ist. Wenn Ihre Lösung beispielsweise drei Zahlen enthält, von denen jede zwischen 100 und 200 liegt, sagt Ihnen die Schätzung der Summe, dass die Summe zwischen 300 und 600 liegen muss.
• Haben Sie mit dem Taschenrechner einen Rechenfehler bei der Eingabe Ihrer Antwort oder einen Schlüsseleingabefehler gemacht? Prüfen Sie in jedem Schritt Ihrer Lösung auf Fehler. Oder Sie können direkt überprüfen, ob Ihre Lösung richtig ist. Wenn Sie beispielsweise eine Gleichung für x lösen, ersetzen Sie Ihre Antwort in die Gleichung, um sicherzustellen, dass sie korrekt ist.